TEOREMA DE FERMAT I GRIGORI PERELMAN

TEOREMA DE FERMAT I GRIGORI PERELMAN

Durant la segona setmana de la matèria optativa d'ampliació de Matemàtiques, hem treballat la demostració recent de teoremes (Teorema de Fermat) i dels que van estar molts anys sense resoldre (Teorema dels Quatre Colors i la Quadratura del cercle). En el nostre cas ens centrarem amb el Teorema de Fermat que va estar resolt pel matemàtic Andrew Wiles l'any 1994.

També hem llegit i treballat la biografia del matemàtic Grigori Perelman.

 

 

- Teorema de Fermat:

"L'equació xⁿ + yⁿ = zⁿ per n > 2 no té solució entera a part de a = 0 / b = 0 / c = 0"

Exemples:

            1) (si n = 0) x⁰ + y⁰ = z⁰

            2) (si n = 1) x¹ + y¹ = z¹

            3) (si n = 2) x² + y² = z²

            4) (si n = 3) x³ + y³ ≠ z³

            5) (si n = 4) x⁴ + y⁴ ≠ z⁴

            6) (si n = 5) x⁵ + y⁵ ≠ z⁵

                                       ^{. . .}

 

Pierre de Fermat (1601 - 1665):

Va néixer a Beaumont (França) i va morir a Castres (França). Matemàtic francès. De jove, va estudiar dret.

Interessat per les matemàtiques, al 1629 va abordar la tasca de reconstruir algunes de les demostracions perdudes del matemàtic grec Apolonio, relatives als llocs geomètrics.

 

Al 1637 va conjecturar el Teorema de Fermat (el va posar en el marge d'una pàgina), que es va trigar més de tres segles a demostrar-lo.

 

Va dissenyar també un algoritme de diferenciació mitjançant el qual va poder determinar els valors màxims i mínims d'una corba polinòmica.

Va demostrar que el camí d'un raig lluminós entre dos punts és sempre aquell que menys temps li costa recórrer.

Al 1654 va desenvolupar amb Blaise Pascal els principis de la teoria de la probabilitat. Del seu treball en aquest camp es van derivar importants resultats relacionats amb les propietats dels

nombres primers, moltes de les quals van quedar expressades en forma de simples proposicions i teoremes.

Va desenvolupar també un enginyós mètode de demostració que va anomenar "del descens infinit".

 

- Grigori Perelman:

Nascut l'any 1966, Grigori Perelman, un dels millors matemàtics de la història, des que era un minyó ha tingut talent per les matemàtiques. Aparentment no sembla un geni degut al seu aspecte, té el cabell despentinat, les ungles llargues, la barba peluda... Va néixer a Rússia, concretament a San Petersburg.

Des de sempre, Perelman ha obtingut resultats brillants i superiors que els del seu entorn. Posteriorment d'haver donat classes, li van oferir prestigiosos llocs de treball a les universitats d'Stanford i Princeton. Degut a que demanen el seu currículum, rebutja els

treballs perquè creu que les seves conferències són suficients per demostrar el seu potencial.

Decideix tornar al seu país amb la seva mare i un temps després resol la conjectura de Poincaré. Alguns companys li intenten treure el mèrit, però no ho aconsegueixen. Perelman va rebutjar el premi d'un milió de dòlars que li oferien per haver resolt aquest gran enigma.

Conjectura de Poincaré:

 

Encara que no l'haguem treballat a classe, la conjectura diu el següent: "Considerant una varietat topològica compacta V de tres dimensions sense vora, és possible que el grup fonamental de V sigui trivial, encara que V no sigui homeomorfa a una esfera de dimensió 3".

 

 

 

 

 

 

 

Adrià Tercero

Gerard Martínez

3r d'ESO

M.O. Ampliació de Matemàtiques

DEFINICIONS

Els primers dies d'ampliació de matemàtiques vam definir i posar exemples d'algunes paraules tècniques com axioma, teorema o conjectura.

AXIOMA   és una afirmació que es considera evident i no es pot ni s'ha de demostrar que es verdadera. Són les veritats elementals a partir de les quals es demostren totes les altres proposicions.
Exemples:

1. Per dos punts diferents només hi passa una recta. •----•
2. Dues coses iguals a una tercera, són iguals. x=y a=y x=a
3. Per un punt passen infinites rectes.
4. Tot nombre natural té un nombre natural consecutiu. X...X+1

TEOREMA és una afirmació matemàtiques que està demostrada i té una importància rellevant.
Exemples:

1. El teorema de Pitàgores.
2. Els angles d'un triangle sumen 180 graus.
3. Hi ha infinits nombres primers.

COROL·LARI és una afirmació matemàtica que es dedueix immediatament aparti d'un teorema.
Exemples:

1. La diagonal d'un quadrat d'1cm de costat val arrel de 2.
2. Els angles d'un quadrilàter sumen 360 graus.

Vam definir més amb molts més exemples, o amb cap.

CONJECTURA DELS NOMBRES PERFECTES SENARS I DELS NOMBRES PRIMER BESSONS

Fa relativament poc, a la matèria optativa d’ampliació de matemàtiques de l’escola ELS ARCS, hem treballat les conjectures. Entre els exemples, hi constaven les conjectures dels nombres perfectes senars i la dels nombres primers bessons, sobre les quals avui us parlarem. Per si no ho sabeu, una conjectura és un anunciat pel qual hi ha bones intuïcions de que és verdader, però encara no ha estat demostrat ni refutat.

Primera conjectura- NO EXISTEIXEN NOMBRES PERFECTES SENARS.

Abans de començar, creiem convenient explicar-vos dos conceptes que faran falta per entendre-ho:

Nombre perfecte: És aquell enter que és igual a la suma dels seus divisors positius excepte ell mateix. Per exemple, el número 6, que és igual a: 1+2+3, els seus divisors.

Nombres senars: Són aquells nombres enters que no són parells, per tant no són múltiples de 2. En la pràctica, això vol dir que és senar tot aquell nombre enter que acabi en 1,3,5,7 o 9. (Ex: 1, 35, 79, 234567…)

Després d’haver-vos referit aquestes dos petites definicions, ja podem començar a explicar la conjectura.

Va ser anunciada més o menys l’any 300 aC per Euclides, un matemàtic grec conegut com el pare de la geometria. Ell va proposar la definició de nombre perfecte, i arran d’això i de la recerca d’aquests, es va veure que només existien nombres perfectes pars (EX: 28=1+2+4+7+14), encara que la qüestió segueix oberta, ja que només se’n han trobat 47 (cap d’ells senar). Per tant, la conjectura diu: no existeixen nombres perfectes senars.

A classe, hem buscat els nombres perfectes per veure que eren tots parells, i n’hem trobat 3: el 6, el 28 i el 496. Els altres, no hem pogut perquè eren massa grans.

Els primers 4  nombres perfectes

A més a més, aquí us deixem un vídeo curtet que resumeix la vida d'una de les ments més brillants de la història: Euclides.

                                          https://www.youtube.com/watch?v=-zDmJ2Tb8Eo

Segona conjectura- CONJECTURA DELS NOMBRES PRIMERS BESSONS DE POLIGNAC.

Com hem fet amb l’altra conjectura, també es necessari explicar abans uns conceptes per la millor comprensió del bloc.

Nombre primer: Són els nombres naturals diferents d’1 que compleixen la propietat que només són divisibles entre ells mateixos i 1 (EX: 2,3,5,7,11,13,17,19,23,29…)

Nombres primer bessons: Són aquelles parelles de nombres primers que es diferencien de dues unitats.

Ara, ja podem començar.

Aquesta conjectura va ser anunciada l’any 1849 per Alphonse de Polignac, un matemàtic francès. Ell va dir que existeixen infinites parelles de nombres primers bessons. Aquesta conjectura té certa relació amb el teorema d’Euclides, que diu que hi ha infinits nombres primers.

EX: 3 i 5, 5 i 7, 11 i 13, 17 i 19…

Sobre aquesta conjectura, a classe ens vam limitar a buscar diferents parelles.

                                                             Alphonse de Polignac

I pels més interessats, us tornem a deixar un vídeo, però aquest cop ens ensenya com Euclides va demostrar el seu teorema, que diu que hi ha infinits nombres primers. El vídeo és curtet també i no és difícil d'entendre, està a l'abast de tothom.

Per veure'l, clica aquí. (https://www.youtube.com/watch?v=-ZpX-penfic)

 Conclusió:

Totes dues conjectures són molt complexes i difícils de demostrar, però a la vegada són molt reptadores si tens devoció per les matemàtiques.

MAX CUNILL I FRANC RICART

CONJECTURA DE COLLATZ

Fa pocs dies, a classe de Matèria Optativa, vam treballar la conjectura de Collatz.
Aquesta conjectura consisteix en una teoria que diu que si esculls un nombre natural qualsevol, fent un de dos procediments pots arribar a aconseguir sempre el número 1, sigui quin sigui el nombre que hem escollit.

Els procediments a seguir són els següents:
- si el número és parell, se l'ha de dividir entre 2
- i si el número és senar se l'ha de multiplicar per 3 i sumar-li 1
Al resultat se li ha de tornar a aplicar el mateix procediment. I així fins que s’arriba a l’1
(és fàcil, no?)

EXEMPLES:
Per exemple podem comprovar-ho amb nombres senzills com ara el 3. El número tres és senar, per tant, ens queda 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1.
O, amb el 7: 7, 22, 11, 32, 16, 8, 4, 2, 1.

I sabeu com ho podem veure amb nombres més grans i complicats?
Podem fer un document excel seguint una sèrie de passos!
Aquí els teniu.
1. A les cel·les 2B i 2C escriviu POSICIÓ i ELEMENT. (simplement per diferenciar les dues columnes)
2. Escriviu 1, 2, 3, ... a les cel·les 3B, 4B, 5B, ... i arrossegueu cap avall perquè se us allargui la sèrie automàticament. Si no us ho fa bé haureu de clicar amb el botó dret i seleccionar l'opció "Serie de relleno".


 

3. A la cel·la 4C li escrivim el que ha de fer.







 
4. Apliquem la fórmula a part de la columna C clicant a la part inferior dreta de la cel·la 4C i arrossegant fins a la cel·la que desitgem.

 

 



Hauria de quedar així, (si ho hem fet bé, al canviar el número de la cel·la 3C hauria de canviar tota la sèrie.

 

 

 

També vam aprendre dos conceptes relacionats amb la conjectura de Collatz i són l'òrbita i la cúspide:
-L'òrbita és el nombre de termes que té una sèrie d'un número fins arribar a l'1.
   Per exemple l'òrbita de la sèrie de Collatz del número 3 és 8.
-La cúspide és el valor  més alt de la sèrie d'un nombre.
   Per exemple la cúspide de la sèrie de Collatz del número 3 és 16.




I ara un mica d'història de les matemàtiques...!

Qui va proposar per primer cop la Conjectura de Collatz és el matemàtic alemany Lothar Collatz. Va ser proposada l'any 1937.

Lothar Collatz el 1990

Lothar Collatz va néixer el 6 de juliol de 1910 a Westfàlia, Alemanya, i va morir el 26 de setembre de 1990 a Varna, Bulgària, mentre assistia a una conferència de matemàtiques.

Va ser solament matemàtic.

El 1937 es va plantejar la famosa conjectura de Collatz, que segueix sense resoldre.

Lothar Collatz va estudiar en diferents universitats d'Alemanya, incloent la Universitat de Berlín.

Gràcies a les seves moltes contribucions al camp, tenia molts honors atorgats al llarg de la seva vida, incloent:

-Membre honorari de la Societat Matemàtica de Hamburg.

-Doctorats honoris per la Universitat de São Paulo, la Universitat Tècnica de Viena, la Universitat de Dundee a Escòcia, la Universitat de Brunel a Anglaterra, la Universitat Tècnica de Hannover, i la Universitat Tècnica de Dresden.

 

CONJECTURA DE GOLDBACH

El segon dia de classe, el 3 de desembre, vam estar parlant de la conjectura de Goldbach:

La conjectura de Goldbach formulada per Christian Goldbach el 1772,afirma que tot nombre enter parell superior a 2 es pot escriure com a suma de dos nombres primers. Molts matemàtics, sense resultat, han intentat demostrar-la Ha estat tan treballada que fins i tot hi ha una “calculadora de Goldbach” la qual et diu els diferents nombres primers que sumats donen el número escollit.

Els nombres primers són els nombres naturals diferents d'1 que compleixen la propietat que només són divisibles entre ells mateixos i entre 1.

EXEMPLES:

4=2+2

8=5+3

10=5+5

9999999999990 = 3331   + 9999999996659

222444666888 = 6101+222444660787

Tot i que aquesta és la conjectura coneguda no és ni l’original ni l’única.

La conjectura de Goldbach pròpiament dita prové d'una reformulació de Leonhard Euler de la primera conjectura de Goldbach va ser la conjectura ternària de Goldbach. Aquesta afirma que tot nombre enter superior a 5 es pot escriure com a suma de tres nombres primers.

També existeix la conjectura dèbil de Goldbach, que afirma que tot nombre enter senar superior a 9 es pot escriure com a suma de tres nombres primers senars ( tots excepte el 2) S’ha treballat molt en la conjectura, el 2013 Harald Helfgott va demostrar aquesta conjectura que feia 271 anys que estava intentant ser resolta.

CURIOSITATS I ENLLAÇOS EXTERNS

Arran de la conjectura de Goldbach s’ha creat la pel·lícula: “La Habitación de Fermat”

Aquí us deixem una “calculadora de Goldbach” per si voleu comprovar la conjectura, si trobeu un número enter pel qual no hi ha solució heu formulat un contraexemple i sou rics:

http://wims.unice.fr/wims/wims.cgi?session=AZ5A0CA28B.1&lang=es&cmd=reply&module=tool%2Fnumber%2Fgoldbach.en&n=1000&type=base&list=10

TEOREMA DELS QUATRE COLORS

Recentment a classe de matèria optativa, hem treballat el teorema dels quatre colors. Nosaltres l'hem trobat molt interessant. Consisteix en el següent: qualsevol mapa (del tipus que sigui) es pot pintar amb un màxim de quatre colors diferents sense que els colors de les regions limítrofes coincideixin. A primera vista sembla impossible. Malgrat això, és demostrable.

L'any 1852 Francis Guthrier va plantejar la conjectura que més endavant va esdevenir el teorema dels quatre colors. Al cap d'un temps, l'any 1976, Kenneth Apple i Wolfgang Haken, mitjançant un ordinador, van convertir la conjectura en teorema, perquè la van comprovar

, utilitzant la teoria dels grafs. Qualsevol mapa es pot representar a través d'un graf. Seguint aquesta idea, assignarem un vèrtex per cada "comarca" i una aresta entre dos vèrtexs, si les comarques són limítrofes.

Algoritme d'acolorit

L'algoritme d'acolorit ens permet demostrar el teorema dels quatre colors:

• Ordenem els vèrtexs en ordre decreixent segons el nombre d'arestes (grau). 
• Assignem els colors a cada vèrtex seguint el següent procés:

                   - Assignem el color 1 al primer vèrtex.

                   - Assignem el color 1, si no és adjacent amb el primer, al segon vèrtex.

                   - En cas contrari, assignem el color 2. I així successivament.

• Per acabar, acolorim el graf i tot seguit el mapa inicial.

Si seguiu aquest procés, veurem que el teorema funciona. Us animen a que intenteu pintar aquests mapes mitjançant l'algoritme d'acolorit!!

Mapa senzill de les comunitats autònomes d'Espanya

Mapa més complicat (Us veieu capaços?)

Martí Oró i Arnau Velàzquez

Iniciem el blog de l'Ampliació de Matemàtiques de 3r d'ESO de l'Escola Els Arcs!
Endavant nois i noies!!