Vam veure a classe aquest magnífic documental produït per la BBC de Londres en la sèrie Horizont, en la que detalla com Andrew Wiles aconsegueix, després de molt de temps, i gràcies al treball de molt altres matemàtics, demostrar l'últim Teorema de Fermat.
Que el disfruteu!
El Ultimo Teorema de Fermat from Moisés Toledo on Vimeo.
miércoles, 11 de febrero de 2015
martes, 10 de febrero de 2015
EXERCICIS RELACIONATS 5 I 6
Em estat fent exercicis pero aquests han sigut una cosa nova, estan relacionats, ja que em pogut fer el segon gracies al primer.
En el primer ens demanavem que demostresim que o be "a" o be "3a-1" és parell per a qualsevol nombre enter "a".
Si posaven que "a" és perell ja seria correcte així que ho hem probat per "a" senar.
3·(2a+1)–1 = 6a+3–1 = 6a+2 = 2·(3a+1)
Qualsevol nombre senar multiplicat per 3 dona senar, i un nombre senar meny 1 és parell.
En el segon ens han demanat que demostresim que si "n" és multiple de 3 aleshores n2-n es multiple de 6, utilitzan el resultat de l'activitat anterior.
n = 3·a
En el primer ens demanavem que demostresim que o be "a" o be "3a-1" és parell per a qualsevol nombre enter "a".
Si posaven que "a" és perell ja seria correcte així que ho hem probat per "a" senar.
3·(2a+1)–1 = 6a+3–1 = 6a+2 = 2·(3a+1)
Qualsevol nombre senar multiplicat per 3 dona senar, i un nombre senar meny 1 és parell.
En el segon ens han demanat que demostresim que si "n" és multiple de 3 aleshores n2-n es multiple de 6, utilitzan el resultat de l'activitat anterior.
n = 3·a
(a·3)2-a·3
= a2·9-a·3 = 3a·(3a-1) = 3·(2b)·(3b-1) = 6b·(3c-1) = 6d
En el pas en negreta soposem que o be "a" o be "3a-1" és parell i l'altre senar, així que substituim en er un nombre parell (2b) i l'altre per u nombre senar (3b-1).
lunes, 9 de febrero de 2015
EL MÈTODE DIRECTE
Molt bon dia a tothom! Avui, en aquesta nova entrada del blog, us parlarem sobre un mètode de demostració: el mètode directe.
I us estareu preguntant què és, no? Doncs comencem per aquí!
El mètode directe és un una manera de resoldre un enunciat, d'on es parteix de les premises per a arribar a la conclusió.
A aleshores B ( A és la premisa i B la conclusió)
Abans de començar amb els exemples, creiem convenient explicar-vos aunes definicions matemàtiques:
1-x és un parell si el podem expressar com a x=2a (on a és enter)
2- x és un senar si el podem expressar com a x=2a+1 ( on a és enter)
Ara si doncs, aquí podeu veure alguns exemples:
Ex 1: Si tenim dos nombres parells aleshores la seva suma és parell=si x i y són parells, x+y és parell
x parell:x=2a on a pertany als enters
y parell: y=2b on b pertany als enters
Aleshores, ara que ja tenim les premises, operem:
x+y=2a+2b= 2(a+b)= 2c on c=a+b
Com abans hem dit que un nombre parell era 2 per quelcom, aquí tenim que és compleix , ja que és 2 per c. (2c)
Ex 2: La suma de dos nombres senars és parell= si x i y són senars, x+y és parell
Si x és senar: x=2a+1 on a pertany als enters
Si y és senar: y= 2b+1 on b pertany als enters
Aleshores, ara que ja tenim les premises, podem procedir:
x+y= 2a+1+2b+1= 2a+2b+2= 2(a+b+1) = 2c on c=a+b+1
Com abans hem dit que un nombre parell era 2 per quelcom, aquí tenim que és compleix , ja que és 2 per c (2c)
Què ho trobeu difícil? No pot ser! Aquests són els més fàcils! I ara, pels més atrevits i atrevides, us deixem un enunciat a veure si sou capaços de resordre'l pel mètode directe. Endevant matemàtics!
Exercici: Si n és senar aleshores n^3-n és múltiple de 4
Endevant nois, a veure si sou capaços!
Max Cunill i Franc Ricart
I us estareu preguntant què és, no? Doncs comencem per aquí!
El mètode directe és un una manera de resoldre un enunciat, d'on es parteix de les premises per a arribar a la conclusió.
A aleshores B ( A és la premisa i B la conclusió)
Abans de començar amb els exemples, creiem convenient explicar-vos aunes definicions matemàtiques:
1-x és un parell si el podem expressar com a x=2a (on a és enter)
2- x és un senar si el podem expressar com a x=2a+1 ( on a és enter)
Ara si doncs, aquí podeu veure alguns exemples:
Ex 1: Si tenim dos nombres parells aleshores la seva suma és parell=si x i y són parells, x+y és parell
x parell:x=2a on a pertany als enters
y parell: y=2b on b pertany als enters
Aleshores, ara que ja tenim les premises, operem:
x+y=2a+2b= 2(a+b)= 2c on c=a+b
Com abans hem dit que un nombre parell era 2 per quelcom, aquí tenim que és compleix , ja que és 2 per c. (2c)
Ex 2: La suma de dos nombres senars és parell= si x i y són senars, x+y és parell
Si x és senar: x=2a+1 on a pertany als enters
Si y és senar: y= 2b+1 on b pertany als enters
Aleshores, ara que ja tenim les premises, podem procedir:
x+y= 2a+1+2b+1= 2a+2b+2= 2(a+b+1) = 2c on c=a+b+1
Com abans hem dit que un nombre parell era 2 per quelcom, aquí tenim que és compleix , ja que és 2 per c (2c)
Què ho trobeu difícil? No pot ser! Aquests són els més fàcils! I ara, pels més atrevits i atrevides, us deixem un enunciat a veure si sou capaços de resordre'l pel mètode directe. Endevant matemàtics!
Exercici: Si n és senar aleshores n^3-n és múltiple de 4
Endevant nois, a veure si sou capaços!
Max Cunill i Franc Ricart
DEMOSTRACIÓ MATEMÀTICA
Bon dia a tots! Avui us venim a orientar una mica sobre els mètodes de demostració, ja que els nostres companys han aprofundit molt. Aquesta entrada és una "presentació" pels temes que vindran.
En matemàtiques, una demostració
matemàtica o prova és un argument deductiu per a una afirmació matemàtica . En
l'argumentació es poden utilitzar altres afirmacions prèviament establertes,
com ara teoremes . En principi, una demostració es pot rastrejar fins afirmacions
generalment acceptades, conegudes com axiomes .
Això si, no es pot utilitzar el mot
comprovació com a sinònim de demostració ja que comprovar es afirmar que és
cert per a “x” número, es a dir, solament 1. En canvi demostrar es afirmar-ho
per a tots els números.
Aquí
us deixem una frase extreta del documental “L’últim teorema de Fermat”, on es
veu clarament que comprovació no es demostració.
“Pots comprovar aquesta conjectura per a 1000
nombres i et quedaran infinits, pots comprovar-ho per un milió més i et
quedaran infinits per comprovar.
Encara que en general no hi ha un
procediment únic de demostració de tesi, si hi ha diferents tipus de
demostracions que són utilitzats comunament en matemàtiques :
- La primera de totes és la demostració
per contraposició ( formalitzat i utilitzat en els sil·logismes* per Aristòtil
).
-
Una altra és la demostració per reducció a l'absurd ( formalitzat i utilitzat
per Aristòtil ) i , com a cas particular, descens infinit.
-
Un altre cas és la inducció matemàtica.
-
I per últim, trobem la inducció forta.
*Un sil·logisme és un mètode lògic creat per Aristòtil, a través del qual s'obté una conclusió.
Aquestes, són maneres de resoldre
conjectures o problemes, els quals aquí us deixem uns exemples:
El conegut Teorema
de Fermat, el també famós Teorema de Pitàgores i fins i tot problemes com “Demostrar
que si 3n+2 es senar, llavors n es senar”
Si no us sonen aquests noms, no us
preocupeu, que els nostres companys tenen entrades explicant cada demostració
més a fons.
Esperem que us haguem pogut començar a endinsar dins d'aquest món i que us hagi agradat!
Ignacio Llansó i Pol Jorquera
domingo, 8 de febrero de 2015
REDUCCIÓ A L'ABSURD
REDUCCIÓ A L’ABSURD
Sabríeu resoldre
per aquest mètode els enunciats següents?
1. Demostra que si
m2 és parell, aleshores m també és parell.
2. Siguin dos
nombres naturals que compleixin que el seu producte és senar, aleshores els dos
nombres són senars.
3. Si p, q i r són
tres nombres enters qualsevols, demostra que el producte:
(p-q) · (q-r) · (r-p)
és parell.
Si voleu comprovar
els vostres resultats o bé aprendre com es fa, aquí teniu els passos a seguir i
les solucions!
1. Demostra que si
m2 és parell, aleshores m també és parell.
m2 = parell ; m =
parell
a) Suposem que la
conclusió és falsa: que m és senar (m = 2a+1)
b) Ho apliquem a
l’enunciat:
m2 =
(2a+1)2
m2 = 4a2
+4a+1
m2 = 2· (2a2 +2a) +1
m2 és parell ( CONTRADICCIÓ )
2·
(2a2 +2a) +1 és senar
2. Siguin dos nombres naturals que compleixin que el seu producte és senar, aleshores els dos nombres són senars.
Comencem suposant que els producte és senar però que els dos nombres són parells o un és parell.
Dos parells:
2a · 2b = 4ab = 2(2ab) = parell (CONTRADICCIÓ)
Un parell:
2a · (2b+1) = 4ab+2a = 2a (2b+1) =parell (CONTRADICCIÓ)
3. Si p, q i r són tres nombres enters qualsevols, demostra que el producte: (p-q) (p-r) (r-p) és parell.
Comencem suposant que p, q i r són enters i que tenim el producte (p-q) (p-r) (r-p) i això acaba donant senar.
En concret (p-q) és senar, per tant un ha de ser parell i l'altre senar.
Tenim dos casos:
- p parell i q senar: p parell = (r-p) senar = r senar (CONTRADICCIÓ)
q senar = (q-r) senar = r parell
- p senar i q parell: p senar = (r-p) senar = r parell (CONTRADICCIÓ)
q parell = (q-r) senar = r senar
Esperem que apreneu i que si els heu fet vostres sols us hagin donat bé! Segueix-nos!
Mercè Maria
Gina Gassol
Mètode d'inducció
Últimament, a la matèria optativa hem estat treballant el mètode d'inducció.
La inducció és un mètode de demostració matemàtica que es basa en:
Suposar certa una expressió i comprovar-la per casos particulars (n=1, n=2, etc.). Un cop fet això, la demostrem per a "n+1". D'aquesta manera demostrarem que la expressió és certa per a tots els següents nombres a partir de "n".
Exemple:
Casos particulars:
A partir d'aquí suposem certa l'expressió per a "n":
I la demostrem per a "n+1":
Conclusió: podem veure que la igualtat és compleix per a "n+1". Això vol dir, que hem demostrat la igualtat inicial el mètode d'inducció.
Problema: si voleu, a partir de la informació donada, podem intentar resoldre la següent expressió:
Resposta:
sábado, 7 de febrero de 2015
demostracions per mètode directe
Sabeu d'on ve l'equació de segon grau? I sabríeu demostrar que la mitja aritmètica de dos nombres(positius) sempre és més gran o igual que la seva mitja aritmètica?
Al primer pas, multipliquem per 4ac a banda i banda. A continuació, passem el tercer terme, 4ac, restant a l'atra banda.
Tot seguit sumem b al quadrat a cada costat i al costat esquerre, ens queda un producte notable. Després l'operem, i per treure el quadrat fem l'arrel quadrada a la dretra. Finalment aïllem la x i ens queda l'equació final.
La mitja aritmètica és la tenim al costat esquerre de l'equació, i la
A classe d'optativa, ho hem treballat i ara us ho demostrarem:
- Equació de segon grau:
Al primer pas, multipliquem per 4ac a banda i banda. A continuació, passem el tercer terme, 4ac, restant a l'atra banda.
Tot seguit sumem b al quadrat a cada costat i al costat esquerre, ens queda un producte notable. Després l'operem, i per treure el quadrat fem l'arrel quadrada a la dretra. Finalment aïllem la x i ens queda l'equació final.
- La mitja aritmètica de dos nº positius és més gran o igual a la seva mitja geomètrica.
La mitja aritmètica és la tenim al costat esquerre de l'equació, i la
mitja geomètrica a la dreta.
El primer que fem és passar el dos multiplicant i elevar-ho tot al quadrat per eliminar l'arrel de la dreta. Després operem el producte notable de la dreta. Finalment ho passem tot a la dreta i operem. Podem comprovar com la mitja aritmètica és més gran.
Suscribirse a:
Entradas (Atom)